OS QUADRADOS MÁGICOS PARTE II
Nesta parte iniciamos o estudo dos Quadrados Mágicos de ordem duplamente par, ou seja: 2, 4, 8, 12, 16, 20, 24 ... n; n = (4k); k ≥ 1
QUADRADO MÁGICO DE ORDEM 2
Represntação Algoritmítmica
Fig.1 Fig. 2
Sobre a existência ou inexistência do QM de ordem 2.
Como podemos ver na figura 2, é fácil verificarmos sua inexistência através da prática, pois é impossível encontramos números distintos que preencham as condições impostas para sua existência, qual seja a de que a soma dê a mesma tanto em relação às linhas, quanto às colunas e às diagonais.
Com relação ao QM de ordem 2, encontramos no livro anteriormente citado " As Maravilhas da Matemática" à página 93: "...Segundo Cornélio Agripa (1486-1535) "O quadrado de módulo 2, com quatro elementos, não poderia existir, pois esse quadrado iria simbolizar o mundo material com os quatro elementos, o ar, a terra, o fogo e a água – e por causa das imperfeições desses elementos o quadrado mágico não poderia ter constante certa."
Outro autores dizem que é impossível construir um quadrado mágico de base 2. Da mesma forma, não existem polígonos de 1 ou 2 lados.
Na realidade isso que se apresenta é indiscutível. Este QM de ordem 2, ao contrário do esperado tem somente a soma das diagonais iguais, ou seja: (2 + 3 = 5) e (1 + 4 = 5) e as linhas e colunas desiguais (posição contrária aos quadrados semi-mágicos), e isto é um quadrado mágico imperfeito.
Onde quero chegar com tudo isso é que apesar de provar que não existe numéricamente falando, este QM é tão importante ou mais que os outros , por quê? É facil verificar que sem a presença deste QM na forma algorítmica (ver Fig.1) não se poderia construir outros QM de ordens par, conforme figuras 2 e 3
Aunque possa ser uma loucura isto me lembra a "Arca de Noé": um par de cada espécie impura (imperfeita), por quê?
QUADRADO MÁGICO DE ORDEM 4
Representação Algorítmica
Fig.2
QUADRADO MÁGICO DE ORDEM 8
(incluíndo as projeções das ordens 2, 4, 8)
Representação Algorítmica
Fig. 3
QUADRADO MÁGICO UNIVERSAL DE ORDEM DUPLAMENTE PAR
4, 8, 12, 16, 20, 24, .... n; n = (4k) ; k ≥ 1
Representação Algorítmica
GRÁFICO AUXILIAR GERAL I
GRÁFICO AUXILIAR GERAL II
A partir do Gráfico Auxiliar Geral I e II deduzimos as equações principais para calcular os valores numéricos dos Quadrados Mágicos de Ordem Duplamente Par 4, 8, 12, 16, 20, 24 ...... n; As variáveis “P” e “K” incluídas nestas formulas dependem da localização das diagonais e a posição que ocupa o valor numérico nessas diagonais respectivamente.
N° de diagonais ---------- (n - 2) / 2 n = número de ordem do QM
Diagonais: y3 x3, y1 x1, w2 z2, ....
y3 x3 ----- n² /2 + 7n² /2 - 2, n² /2 + 5n² / 2 - 3
x1 y1 ----- n² /2 + 7n /2 + 2, n² /2 + 5n /2 + 1, n²/ 2 + 3n /2, n² /2 + n /2 - 1, n² /2 - n /2 - 2, n² /2 - 3n /2 - 3
z2 w2 ---- n² /2 + 7n /2, n² /2 + 5n /2 - 1, n² /2 + 3n /2 – 2, n² /2 + n /2 - 3
Equação Geral (A) ------ n² /2 + n /2 (n - 2k + 1) + ( - k + 1 - 2p + n /2)
Diagonais: y2 x2, z1 w1, z3 w3 .......
y2 x2 ..... n² /2 - 7n /2 + 1, n² /2 - 5 n/2 + 2, n² /2 - 3 n/2 +3, n² /2 - n /2 + 4
z1 w1 .... n² /2 - 7 n/2 - 1, n² /2 - 5 n/2, n² n/2 - 3 n/2 + 1, n² /2 - n /2 + 2, n² /2 + n /2 + 3, n² /2 + 3 /2 + 4
z3 w3 ..... n² /2 - 7 n/2 + 3, n² /2 - 5 n/2 + 4
Equação Geral (C) ...... n² /2 - n /2 (n - 2k + 1) - (-k - 2p + n /2)
Diagonais: y1 w1, y3 w3, z2 x2 ....
y1 w1 ..... n /2 + 7 n/2 + 3, n²/2 + 5 n/2 +4
y3 w3 ..... n² /2 + 7 n/2 - 1, n² /2 + 5 n/2, n² + 3 n/2 + 1, n² /2 + n /2 + 2, n² /2 - n /2 + 3, n² /2 - 3 n/2 + 4
z2 x2 ..... n² /2 + 7 n/2 + 1, n² /2 + 5 n/2 + 2, n² /2 + 3 n/2 + 3, n² /2 + n /2 +
Equação Geral (B) ..... n² /2 + n/2 (n - 2k + 1) - (-k - 2p + n /2)
Diagonais: z1 x1, z3 x3, y2 w2, ....
z1 x1 ..... n² /2 - 7 n/2 - 2, n² /2 - 5 n/2 - 3
z3 x3 ..... n² /2 - 7 n/2 + 2, n² /2 - 5 n/2 + 1, n² /2 - 3 n/2, n² /2 - n /2 - 1, n² /2 + n /2 - 2, n² /2 + 3 n/2 - 3
y2 w2 .... n² /2 - 7 n/2, n² /2 - 5 n/2 - 1, n² /2 - 3 n/2 – 2, n² /2 - n /2 - 3
Equação Geral (D) ...... n² /2 - n /2 (n - 2k + 1) + (- k - 2p +1 + n /2)
Diagonal principal D1
D1 ..... n² /2 - 7 n/2 + 4, n² /2 - 5 n/2 + 3, n² n/2 - 3 n/2 +2, n² /2 - n /2 + 1, n² /2 + n /2, n² /2 + 3 n/2 - 1,
n² /2 + 5 n/2 - 2, n² /2 +7 n/2 - 3
Equação Geral (D1) ..... n² /2 - n /2 (n - 2k + 1) + (-k +1 + n /2)
Diagonal principal (D2)
D2 ....... n² /2 + 7 n /2 + 4, n² + 5 n/2 + 3, n² + 3 n/2 + 2, n² /2 + n /2 + 1, n² /2 - n /2, n² - 3 n/2 - 1
n² /2 - 5 n/2 - 2, n² /2 - 7 n/2 - 3
Equação Geral (D2) ..... n² /2 + n /2 (n - 2k +1) + (-k +1 + n /2)
A seguir mostramos o Gráfico Auxiliar III do QM de ordem 12, para que vocês verifiquem os valores encontrados na Fig. 4, usando as equações encontradas - A, B, C, D, D1 e D2. Bom Trabalho!
GRÁFICO AUXILIAR GERAL III
QUADRADO MÁGICO DE ORDEM 12
CONSTANTE MÁGICA 870
Fig. 4