OS QUADRADOS MÁGICOS PARTE II

16/10/2013 13:50

Nesta parte iniciamos o estudo dos Quadrados Mágicos de ordem duplamente par, ou seja: 2, 4, 8, 12, 16, 20, 24  ...  n;    n = (4k);  ≥ 1

QUADRADO MÁGICO DE ORDEM 2

    Represntação Algoritmítmica

                      

                     Fig.1                                    Fig. 2

 

Sobre a existência ou inexistência do QM de ordem 2.  

 

Como podemos ver na figura 2, é fácil verificarmos sua inexistência através da prática, pois é impossível encontramos números distintos que preencham as condições impostas para sua existência, qual seja a de que a soma dê a mesma tanto em relação às linhas, quanto às colunas e às diagonais. 

Com relação ao QM de ordem 2, encontramos no livro anteriormente citado " As Maravilhas da Matemática" à página 93: "...Segundo Cornélio Agripa (1486-1535)  "O quadrado de módulo 2, com quatro elementos, não poderia existir, pois esse quadrado iria simbolizar o mundo material com os quatro elementos, o ar, a terra, o fogo e a água – e por causa das imperfeições desses elementos o quadrado mágico não poderia ter constante certa."

Outro autores dizem que é impossível construir um quadrado mágico de base 2. Da mesma forma, não existem polígonos de 1 ou 2 lados.

Na realidade isso que se apresenta é indiscutível.  Este QM de ordem 2, ao contrário do esperado tem somente a soma das diagonais iguais, ou seja: (2 + 3 = 5) e (1 + 4 = 5) e as linhas e colunas desiguais (posição contrária aos quadrados semi-mágicos), e isto é um quadrado mágico imperfeito.

Onde quero chegar com tudo isso é que apesar de provar que não existe numéricamente falando, este QM é tão importante ou mais que os outros , por quê? É facil verificar que sem a presença deste QM na forma algorítmica (ver Fig.1) não se poderia construir outros QM de ordens par, conforme figuras 2 e 3

Aunque possa ser uma loucura isto  me lembra a "Arca de Noé": um par de cada espécie impura (imperfeita), por quê?

 

QUADRADO MÁGICO DE ORDEM 4

    Representação  Algorítmica

 

      

                       Fig.2

 

                                     QUADRADO MÁGICO DE ORDEM 8

                                (incluíndo as projeções das ordens 2, 4, 8)

                                              Representação Algorítmica

                                                           Fig. 3

 

             QUADRADO MÁGICO UNIVERSAL DE ORDEM DUPLAMENTE PAR

                  4, 8, 12, 16, 20, 24, .... n;    n = (4k) ;     ≥ 1

                                           Representação Algorítmica

                                           GRÁFICO AUXILIAR GERAL I                                        

 

                                 

 

                                          GRÁFICO AUXILIAR GERAL II

 

A partir  do Gráfico Auxiliar Geral I e II deduzimos as equações principais para calcular os valores numéricos dos Quadrados Mágicos de Ordem Duplamente Par 4, 8, 12, 16, 20, 24 ...... n;  As variáveis “P” e “K” incluídas nestas formulas dependem da localização das diagonais e a posição que ocupa o valor numérico  nessas diagonais respectivamente.

 

N° de diagonais ---------- (n - 2) / 2                                    n = número de ordem do QM

 

Diagonais: y3 x3, y1 x1, w2 z2, ....

y3 x3 ----- n² /2 + 7n² /2 - 2,  n² /2 + 5n² / 2 - 3

  x1 y1 ----- n² /2 + 7n /2 + 2, n² /2 + 5n /2 + 1, n²/ 2 + 3n /2, n² /2 + n /2 - 1,  n² /2 - n /2 - 2,  n² /2 - 3n /2 - 3

z2 w2 ---- n² /2 + 7n /2, n² /2 + 5n /2 - 1,  n² /2 + 3n /2 – 2, n² /2 + n /2 - 3

Equação Geral    (A) ------ n² /2 + n /2 (n - 2k + 1) + ( - k + 1 - 2p + n /2) 

 

Diagonais: y2 x2, z1 w1, z3 w3 ....... 

y2 x2 ..... n² /2 - 7n /2 + 1, n² /2 - 5 n/2 + 2,  n² /2 - 3 n/2 +3, n² /2 - n /2 + 4

z1 w1 ....  n² /2 - 7 n/2  - 1, n² /2 - 5 n/2, n² n/2  - 3 n/2 + 1, n² /2 - n /2 + 2, n² /2 + n /2 + 3, n² /2 + 3 /2 + 4

z3 w3 ..... n² /2 - 7 n/2 + 3, n² /2 - 5 n/2 + 4

Equação Geral    (C) ...... n² /2 - n /2 (n - 2k + 1) - (-k - 2p + n /2)

 

 Diagonais: y1 w1, y3 w3, z2 x2 ....

 y1 w1 ..... n /2 + 7 n/2 + 3,  n²/2 + 5 n/2 +4

y3 w3 ..... n² /2 + 7 n/2 - 1,  n² /2 + 5 n/2,  n² + 3 n/2 + 1, n² /2 + n /2 + 2,  n² /2  - n /2 + 3,  n² /2 - 3 n/2 + 4

z2 x2 ..... n² /2 + 7 n/2 + 1,  n² /2 + 5 n/2 + 2,  n² /2 + 3 n/2 + 3, n² /2 + n /2 + 

 Equação Geral    (B) ..... n² /2 + n/2 (n - 2k + 1) - (-k - 2p + n /2)

 

 Diagonais: z1 x1, z3 x3, y2 w2, ....

 z1 x1 ..... n² /2 - 7 n/2  - 2,  n² /2 - 5 n/2 - 3

z3 x3 ..... n² /2 - 7 n/2 + 2, n² /2  - 5 n/2 + 1, n² /2 - 3 n/2, n² /2 - n /2 - 1, n² /2 + n /2 - 2,  n² /2 + 3 n/2 - 3

y2 w2 ....  n² /2 - 7 n/2, n² /2 - 5 n/2 - 1, n² /2 - 3 n/2 – 2, n² /2 - n /2 - 3

 

Equação Geral   (D) ......   n² /2 - n /2 (n - 2k + 1) + (- k - 2p +1 + n /2)

 

Diagonal principal D1

  D1    .....  n² /2 - 7 n/2 + 4,  n² /2 - 5 n/2 + 3,  n² n/2 - 3 n/2 +2, n² /2  - n /2 + 1,  n² /2 + n /2,  n² /2 + 3 n/2 - 1, 

               n² /2 + 5 n/2 - 2,  n² /2 +7 n/2 - 3

 Equação Geral     (D1) ..... n² /2 - n /2 (n - 2k + 1) + (-k +1 + n /2)

 

 Diagonal principal  (D2)

 D2  .......    n²  /2 + 7 n /2 + 4, n² + 5 n/2 + 3, n² + 3 n/2 + 2, n² /2 + n /2 + 1,  n² /2 - n /2,  n² - 3 n/2 - 1

                 n² /2 - 5 n/2  - 2,  n² /2 - 7 n/2  - 3

 Equação Geral     (D2) .....   n² /2 + n /2 (n - 2k +1) + (-k +1 + n /2)

 

A seguir mostramos o Gráfico Auxiliar III do QM de ordem 12, para que vocês verifiquem os valores encontrados na Fig. 4, usando as equações encontradas - A, B, C, D, D1 e D2. Bom Trabalho!

 

                                      GRÁFICO AUXILIAR GERAL III

 

 

             QUADRADO MÁGICO DE ORDEM 12

CONSTANTE MÁGICA 870

                                              Fig. 4

 

 

 

 


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