OS QUADRADOS MÁGICOS - PARTE I
Visto esta pequena explanação (Ver "Origem e História dos Quadrados Mágicos"), passaremos a conhecer o lado puramente matemático dos Quadrados Mágicos, isto é muito importante para os que nunca escutaram falar deles, acompanhem e saibam por que eles são tão fascinantes e porque eles são parte essencial de nossa vida. Assim desta maneira podemos compreender em igualdade de conhecimento todo o relacionado sobre os quadrados mágicos e por que os considero as “Leis do Universo”..
Consideram-se quadrados mágicos, as composições matemáticas constituídas por uma sucessão de números dispostos de tal maneira que a soma dos números que se encontram em cada fila, coluna ou diagonal, seja constante.
A ordem, n, de um quadrado mágico é o número de linhas ou colunas que este comporta. Assim na matriz da Fig. 1 representamos o primeiro dos sete Quadrados Mágicos (QM), ou seja, o QM de ordem 3
Fig.1
Este QM é muito interessante, pois possibilita uma reflexão de fácil entendimento. O exemplo mais simples e cuja constante de acordo com sua definição é 15, conforme mostrado a seguir:
Considerando as filas nos temos:
4 + 9 + 2 = 15
3 + 5 + 7 = 15
8 + 1 + 6 = 15
Considerando as colunas temos:
4 + 3 + 8 = 15
9 + 5 + 1 = 15
2 + 7 + 6 = 15
Considerando as diagonais temos:
4 + 5 + 6 = 15
2 + 5 + 8 = 15
E que também encerra as seguintes propriedades:
4² + 9² + 2² = 8² + 1² + 6² e
4² + 3² + 8² = 2² + 7² + 6²
E mais:
4 + 6 = 10
3 + 7 = 10
8 + 2 = 10
1 + 9 = 10
Um QM de ordem n está composto de n² números. Se estas cifras seguem a serie de números naturais desde 1 até n², então o resultado (ou constante mágica) a encontrar em cada fila, coluna e diagonal se pode calcular com o seguinte algoritmo:
S(n) = (n² + 1) x n/2 S(n) = Constante Mágica
Exemplo: QM de ordem 3 S = (3² + 1) x 3/2 = 10 x 3/2 = 30/2 = 15
Outros resultados ver tabela: para QM de varias ordens:
Esta constante não é visível à primeira vista, mas que indica a posição de cada número dentro da matriz. È uma das características da Lei, ela age de forma imperceptível
Uma vez conhecendo sua constante, podemos também saber a soma total de qualquer quadrado mágico, com o seguinte algoritmo:
St = (n² + 1) x (n²) /2 St = Soma total (ex. QM de ordem 3)
St = (3² + 1) x (3²)/2 = 10 x 9/2 = 90/2 = 45
Supõe-se que o número de quadrados mágicos possíveis varie segundo o fatorial de (n²)! No caso do QM de ordem 3 qualquer pessoa que tentar montar uma matriz igual à Fig. 1 se surpreenderá, pois provavelmente chegará a um número de matrizes na ordem do fatorial de 9 (9!) isto é, 9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 362.800 possibilidades de colocação dos dígitos na matriz. Todos imperfeitos, menos um, que é a matriz da Fig. 1 em questão.
Em geral qualquer QM que cumpra a definição acima é chamado de QM perfeito. O QM que não respeita esta condição é chamado de QM imperfeito ou, mais corretamente, não são considerados QM. Mas, há uma divisão especial o qual são conhecidos como QM semimágicos e estes são aqueles em que a soma das diagonais fica tão próxima quanto possível da soma comum das linhas e colunas.
Dentro das propriedades dos quadrados mágicos, pode rodar-se um quadrado mágico quer no sentido horário quer no sentido anti-horário para obter um novo quadrado mágico (rotação); também pode refletir-se um quadrado mágico seguindo a mediana horizontal ou vertical ou uma das diagonais principais para obter um novo quadrado mágico (reflexão). Ver Ilustração abaixo:
0º 90º 180º 270
Nesta ilustração apresentamos todas as possíveis soluções para o QM de ordem 3 (A 2- A), todas elas derivadas dessa matriz principal. Vejamos como acontece:
A 1-E corresponde a uma reflexão horizontal de A 2-A;
A 2-B corresponde a uma rotação de A 2-A para direita;
A 1-F corresponde a uma reflexão horizontal de A 2-B;
A 2-C corresponde a uma rotação de A 2-B para direita;
A 1-G corresponde a uma reflexão horizontal de A 2-C;
A 2-D corresponde a uma rotação de A 2-C para direita e
A 1-H corresponde a uma reflexão horizontal de A 2-D.
Após disso, no próximo movimento voltaremos à posição inicial (esta ilustração é importante ao falar sobre o I Ching).
Tratando-se da construção dos quadrados mágicos, existem três formas:
- Quadrados Mágicos de ordem ímpar:
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,....... n = (2m + 1) m ≥ 1
- Quadrados Mágicos de ordem duplamente par:
4, 8, 12, 16, 20, 24,....... n = (4m) m ≥ 1
- Quadrados Mágicos de ordem simplesmente par:
6, 10, 14, 18, 22,...... n = (4m + 2) m ≥ 1
Os QM de ordem par e de ordem impar têm diferenças nas suas propriedades, mas, sobretudo na forma de construção. Isso se traduz bem num efeito visual os trajetos internos dos QM, traçados obtidos unindo os números por uma linha. No caso especifico do QM de ordem 3 estamos mostrando a primeira figura geométrica (ver figura 2), a primeira das infinitas formas geométricas que nós podemos construir. Sendo que cada forma geométrica simboliza a vida interna¹ do QM.
Fig.2
¹ Essa figura geométrica mostrada no QM de ordem 3, como vamos a ver mais adiante faz parte da composição de uma estrutura maior é a que forma o tecido mais fino do Universo, o qual sustenta toda a matéria existente. Nota do Autor.
MÉTODOS DE CONSTRUÇÃO DOS QUADRADOS MÁGICOS
O meu trabalho que vou apresentar como método de construção dos QM tradicionais é baseado nas projeções deles mesmos começando pela unidade e para isto é necessário conhecer qualquer QM que mantenha o padrão dos tradicionais, assim na ordem impar temos: QM de ordens 1, [ 3, 5, 7, 9 ] 11, 13, 15, 17 etc., assim como também os QM de ordem duplamente par: 2, [ 4, 8 ] 12, 16, 20 etc., e finalmente os de ordem simplesmente par: 2, [ 6,] 10, 14, 18, 22 etc. Entre os colchetes são os quadrados mágicos conhecidos tradicionalmente e os que estão fora dos colchetes são suas projeções.
Explicando melhor, o trabalho dos QM será principalmente sobre sua projeção de cada um com relação ao outro.
QM de ordem ímpar: consideramos o QM de ordem 3 que é uma projeção do QM de ordem 1; o QM de ordem 5 que é uma projeção do QM de ordem 1 e do QM de ordem 3; o QM de ordem 7 que é uma projeção de ordem 1, do QM de ordem 3 e do QM de ordem 5, assim sucessivamente até o enésimo valor.
QM de ordem duplamente par: consideramos o QM de ordem 4 que é uma projeção do QM de ordem 2; o QM de ordem 8 que é uma projeção do QM de ordem 2 e do QM de ordem 4; o QM de ordem 12 que é uma projeção do QM de ordem 2, do QM de ordem 4 e do QM de ordem 8, assim sucessivamente até o enésimo valor.
QM de ordem simplesmente par: consideramos o QM de ordem 6 que é uma projeção do QM de ordem 2; o QM de ordem 10 que uma projeção do QM de ordem 2 do QM de ordem 6, assim sucessivamente até o enésimo valor.
Os que conhecem os QM devem haver observado que o QM de ordem 2 não existe, porque é impossível construí-o. É fácil verificarmos sua inexistência através da pratica, pois é impossível encontrarmos números distintos que preencham as condições impostas para sua existência, qual seja a de que a soma dos números que se encontram em cada fila, coluna ou diagonal, seja constante.
Sua inexistência deste QM de ordem 2, numericamente pode ser comprovada, mas na forma na qual estou representando este QM de ordem 2 – forma algorítmica – ainda que não cumpra as condições, ele é necessário para todas as construções dos QM de ordem par. E o mais importante, para continuidade e construção das Leis Universo! (para maiores explicações, ver item sobre os QM de ordem par).
Os números que compõem cada QM em geral serão na sua forma algorítmica. Isto se faz necessário para facilitar os cálculos. Ao substituir os números que compõem os QM por algoritmos tinha encontrado a solução para o problema das projeções. Pois, é através dos algoritmos que encontrei as equações algébricas de primeiro e segundo grau, com as quais podia localizar qualquer número em qualquer posição dentro de qualquer ordem do QM, que esteia dentro de sua projeção e, mais cumprindo as exigências – a constante – conforme a sua definição.
QUADRADOS MÁGICOS DE ORDEM IMPAR
Matematicamente a projeção dos QM começa com o QM de ordem 1 e este se resume e se limita a si mesmo: 1² = 1
QUADRADO MÁGICO DE ORDEM 1
Representação Algorítmica
QUADRADO MÁGICO DE ORDEM 3
Representação Algorítmica
QUADRADO MÁGICO DE ORDEM 9
(incluindo as projeções de ordens 1, 3, 5 e 7)
Representação Algorítmica
QUADRADO MÁGICO UNIVERSAL DE ORDEM ÍMPAR
ALGORITMOS PARA QUADRADOS MÁGICOS DE ORDEM :
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...... n = (2 k + 1) k ≥ 1
QUADRO GERAL DAS EQUAÇÕES
GRÁFICO AUXILIAR GERAL I
A partir do Quadro Geral das Equações e Gráfico Auxiliar Geral I deduzimos as equações principais para calcular os valores numéricos dos Quadrados Mágicos de Ordem Impar: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17... As variáveis “P” e “K” incluídas nestas formulas dependem da localização das diagonais e a posição que ocupa o valor numérico nessas diagonais respectivamente.
GRÁFICO AUXILIAR II- (Equações tipo b, c, e, a)
DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES :
Diagonais: b1, b2, b3, b4, ....
nº de diagonais → (n -1)/2 -------- n = nº de ordem do QM.
b1 → n², n² - n, n² - 2n, n² - 3n, .... n² - (k – p)n
b2 → n² - 1, n² - (n + 1), n² - (2n + 1), .... n² - (k – p)n – 1
b3 → n² - 2, n² - (n + 2), ... n² - (k – p)n – 2
b4 → n² - 3, ... n² - (k – p)n – 3
b5 .... b 33 ... bn... Equação Geral (1) → n² - (k – p) n – (p -1)
Diagonais: c1, c2, c3, c4, ...
c1 → n² - (n - 1), n² - (2n – 1), n² - (3n -1), n² - (k – p)n + 1
n² - (4n -1), ...
c2 → n² - (n – 2), n² - ( 2n – 2), n² - (3n – 2), ... n² - (k – p)n + 2
c3 → n² - (n -3), n² - (2n – 3), ... n² - (k – p)n + 3
c4 → n² - (n – 4), ... n² - (k – p)n + 4
c5 ... c33 ... cn... Equação Geral (2) → n² - (k – p)n + (p +1)
Diagonais: e1, e2, e3, e4, ...
e1 → n – (n – 1), 2n – (n – 1), 3n – (n – 1), (k – p)n – (n – 1)
4n – ( n – 1), ....
e2 → n – (n – 2), 2n – (n -2), 3n – (n – 2),... (k – p)n – (n – 2)
e3 → n – (n – 3), 2n – (n – 3), .... (k – p)n – (n – 3)
e4 → n – (n – 4),.... (k – p)n – (n – 4)
e5, ... e17,.... e33,... Equação Geral (3) → (k – p)n – (n – p) + 1
Diagonais a1, a2, a3, a4, .... an
a1 → n, 2n, 3n, 4n, ... (k – p)n
a2 → n – 1, 2n – 1, 3n – 1, ... (k – p)n – 1
a3 → n – 2, 2n – 2, ... (k – p)n – 2
a4 → n – 3, ... (k – p)n – 3
a5, ... a33 ... an ... Equação Geral (4) → (k – p)n - p
GRÁFICO AUXILIAR III- (Equações tipo: y, x)
DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES :
Diagonais: y1, y2, y3, y4, ... yn
y1 → (n² - 1)/2 - 3n, (n² - 1)/2 - 2n, (n² - 1)/2 -n, - - - - (n² - 1)/2 - ((n – 1)/2 – k)n
(n² - 1)/2, (n² - 1) + n, (n² - 1) + 2n,
(n² -1)/2 + 3n, ...
y2 → (n² - 3)/2 - 2n, (n² - 3) - n, ( n² - 3)/2, - - - - (n² 3)/2((n – 1)/2 – k)n
( n² - 3)/2 + n, (n² -3) + 2n, ...
y3 → (n² - 5)/2 – n, (n²- 5), (n² -5) + n, - - - - - (n² - 5)/2 - ((n – 1)/2 – k)n
y4 → (n² - 7)/2 - - - - - (n² - 7)/2 - ((n – 1)/2 – k)n
y5 ....y33 ... yn Equação Geral (5) → (n² - 2p + 1)/2 - ((n – 1)/2 – k)n
Diagonais: x1, x2, x3, x4, ...
x1 → (n² +3)/2 – 3n, (n² +3)/2 – 2n, (n² +3)/2 – n, (n² +3)/2 - ((n – 1)/2 – k)n
(n² +3)/2, (n² +3)/2 +n, (n² +3)/2 + 2n,
(n² +3)/2 + 3n, ...
x2 → (n² +5)/2 – 2n, (n² +5)/2 –n, (n² +5), (n² +5)/2 - ((n – 1)/2 – k)n
(n² +5)/2 +n, (n² +5)/2 +2n, ....
x3 → (n² +7)/2 – n, (n² +7)/2, (n²+ 7)/2 + n, .. (n² +7)/2 -((n – 1)/2 – k)n
x4 → (n² +9)/2,... (n² + 9)/2 - ((n – 1)/2 – k)n
x5 ... x17 .... x33 ...Equação Geral (6) → (n² + 2p +1)/2 - ((n – 1)/2 – k)n
Diagonal principal: D1 (a diagonal D2 é preenchida automaticamente)
D1 → (n² +1)/2 + 4n, (n² + 1)/2 + 3n,
(n² + 1)/2 +2n, (n² + 1)/2 + n,
(n² + 1)/2, (n² + 1)/2 – n,
(n² + 1)/2 – 2n, (n² + 1)/2 – 3n,
(n² + 1)/2 – 4n, ....
Equação Geral .... (7) → (n² + 1)/2 + ((n -1)/2 – k)n
A seguir mostraremos todos os cálculos feitos par o QM de ordem 15
CONTINUA - VER OS QUADRADOS MÁGICOS PARTE II